Mladý bek je rodákem z Rokycan, v plzeňském klubu prošel všemi mládežnickými celky. Extraligovou premiéru si připsal v dresu Škody coby šestnáctiletý v únoru roku 2016 na ledě Mladé Boleslavi. Od sezóny 2016/17 nastupoval David Kvasnička v A týmu Plzně pravidelněji, stále si však připisoval starty také za týmy dorostu a juniorů.
V následujících ročnících nastupoval jak za mužstvo indiánů, tak v týmech Litoměřic či Klatov, kde sbíral cenné zkušenosti. Pro sezónu 2019/20 poprvé změnil extraligové angažmá, když z Plzně zamířil do Vítkovic. Kromě ostravského celku nastupoval v uplynulém ročníku také za prvoligový Havířov. Kvasnička v Tipsport extralize odehrál před sezónou 2020/21 dohromady 109 zápasů – z toho 73 za Plzeň – a připsal si celkem 12 kanadských bodů (2+10). Za indiány nastoupil rovněž do 11 duelů v Champions Hockey League.
David Kvasnička byl pravidelným mládežnickým reprezentantem České republiky. V letech 2016 a 2017 se zúčastnil světových šampionátů hráčů do 18 let, startoval také na mistrovstvích světa hráčů do 20 let, a to v letech 2017 a 2019.
Info: 14.5.2020
| Kolo | Datum | Utkání | Skóre | G | A | B | +/− | TMin |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 42. TV | 3.2.2019 | HC Sparta Praha vs HC Škoda Plzeň | 4:5sn | 0 | 0 | 0 | +1 | 0 |
| 41. | 1.2.2019 | HC Škoda Plzeň vs HC Kometa Brno | 5:2 | 0 | 0 | 0 | +2 | 0 |
| 40. TV | 30.1.2019 | Bílí Tygři Liberec vs HC Škoda Plzeň | 4:0 | 0 | 0 | 0 | -2 | 0 |
| 39. TV | 27.1.2019 | HC Energie Karlovy Vary vs HC Škoda Plzeň | 1:5 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 38. TV | 25.1.2019 | HC Škoda Plzeň vs HC Verva Litvínov | 7:1 | 0 | 0 | 0 | +1 | 0 |
